Resolução UNICAMP 2013 (2ª Fase - 1º dia) - Questão 15

A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m² de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão $V(t)={ V }_{ 0 }{ 2 }^{ -t }$, em que ${ V }_{ 0 }$ é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, $\log _{ 10 }{ 2 } \approx 0,3$.

Resolução UNICAMP 2013 (2ª Fase - 1º dia) - Questão 14

Os lados de um triânguo ABC da figura abaixo tês as seguintes medidas: AB = 20, BC = 15 e AC = 10.

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razção entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explicito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.

Resolução UNICAMP 2013 (2ª Fase - 1º dia) - Questão 13

Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo.

a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo.

Tempo (segundos)	0	1	2	3	4
Velocidade (Km/h)	0	35	70	105	140

b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 47

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por T(φ) e S(φ), podemos afirmar que a razão S(φ)/T(φ), quando φ=π/2 radianos, é

a) π/2.

b) 2π.

c) π.

d) π/4.

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 45

Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm.

b) 15 cm.

c) 16 cm.

d) 18 cm.

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 44

A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

a) $\frac { R }{ r } \ge \frac { 3 }{ 4 }$ e $\frac { H }{ h } \le \frac { 16 }{ 9 }$

b) $\frac { R }{ r } \ge \frac { 9 }{ 16 }$ e $\frac { H }{ h } \le \frac { 4 }{ 3 }$

c) $\frac { R }{ r } \ge \frac { 4 }{ 5 }$ e $\frac { H }{ h } \le \frac { 25 }{ 16 }$

d) $\frac { R }{ r } \ge \frac { 16 }{ 25 }$ e $\frac { H }{ h } \le \frac { 5 }{ 4 }$

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 43

Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.

Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria

a) inferior ao dobro.

b) superior ao dobro e inferior ao triplo.

c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.

d) mais que o quádruplo.

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 42

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo CÂB = 30º. Portanto, o comprimento do segmento CE é:

a) $a\sqrt { \frac { 5 }{ 3 }  }$
b) $a\sqrt { \frac { 8 }{ 3 }  }$
c) $a\sqrt { \frac { 7 }{ 3 }  }$
d) $a\sqrt { 2  }$

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 41

Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740 ºC. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40ºC. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função

$T(t)=({ T }_{ 0 }-{ T }_{ AR })\times { 10 }^{ -t/12 }+{ T }_{ AR }$

sendo t o tempo em minutos, ${ T }_{ 0 }$ a temperatura inicial e ${ T }_{ AR }$ a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140º C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10: 

a) 12[log(7) – 1]minutos.

b) 12[1 – log(7)] minutos.

c) 12log(7) minutos.

d) [1 – log(7)] /12 minutos.

Resolução UNICAMP 2013 (1ª Fase) - Questão 40

Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15º. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de

a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

Sabendo que k é um número real, considere a função f(x) = k sen x + cos x, definida para todo número real x.

a) Seja t um número real tal que f(t) = 0. Mostre que f(2t) = −1.

b) Para k = 3, encontre todas as soluções da equação f(x)² + f(−x)² = 10 para 0 ≤ x ≤ 2π.

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

mx + 2z = 4

x - y + z = 3

2x + mz = 4

a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A² = A ∙ A.

b) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) = x³ + ax² + bx + 1.

a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então 1/r é uma raiz do polinômio q(x) = x³ + bx² + ax + + 1. 

b) Determine os valores de a e b para os quais a sequência (p(−1), p(0), p(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a p(2).

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.

a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.

b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c > b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

Sejam c um número real e f(x) = x² − 4x + c uma função quadrática definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y = f(x).

a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 ≤ x ≤ 4.

b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. Sabendo que o ponto médio do segmento AB é M = (1, c), determine a e b.

UNICAMP - 2017 (Comvest) - 2ª Fase

Diversas padarias e lanchonetes vendem o “cafezinho” e o “cafezinho com leite”. Uma pesquisa realizada na cidade de Campinas registrou uma variação grande de preços entre dois estabelecimentos, A e B, que vendem esses produtos com um volume de 60 ml, conforme mostra a tabela abaixo.

a) Determine a variação percentual dos preços do estabelecimento A para o estabelecimento B, para os dois produtos.

b) Considere a proporção de café e de leite servida nesses dois produtos conforme indica a figura abaixo. Suponha que o preço cobrado se refere apenas às quantidades de café e de leite servidas. Com base nos preços praticados no estabelecimento B, calcule o valor que está sendo cobrado por um litro de leite.

UNICAMP - 2017 (Comvest)

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

a) 1.

b) 5/4.

c) 4/3.

d) 1/3. 

UNICAMP - 2017 (Comvest)

Sendo 𝑎 um número real, considere a matriz

$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Então, ${ A }^{ 2017 }$ é igual a


a) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix} 1 & { a }^{ 2017 } \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

UNICAMP - 2017 (Comvest)

Considere a circunferência de equação cartesiana x² + y² = x - y. Qual das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais?

a) x + y = -1
b) x - y = -1
c) x - y = 1
d) x + y = 1

UNICAMP - 2017 (Comvest)

Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar corretamente que, nesse grupo,

a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.

b) nenhuma pessoa leu os dois livros.

c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.

d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros.